La simplification des fractions est une compétence mathématique fondamentale pour les étudiants de la classe de cinquième. Comprendre cette notion permet d’améliorer leur aisance en mathématiques et de préparer le terrain pour des concepts plus avancés. Découvrons ensemble une série d’exercices pratiques, accompagnés de corrections détaillées, qui aideront les élèves à maîtriser cette compétence essentielle.
Les fondamentaux de la simplification des fractions
Pour commencer, il est crucial de comprendre ce qu’est une fraction simplifiée. Une fraction est un rapport entre un numérateur et un dénominateur. Par exemple, dans la fraction 4/8, 4 est le numérateur et 8 est le dénominateur. Une fraction est considérée comme simplifiée lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas d’autres diviseurs communs, à l’exception de 1.
Pour simplifier une fraction, il est nécessaire de diviser à la fois le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD). Le PGCD est le plus grand nombre qui divise simultanément ces deux nombres. Par exemple, pour simplifier 4/8, le PGCD de 4 et 8 est 4. En divisant le numérateur et le dénominateur par 4, on obtient la fraction simplifiée 1/2.
Voici quelques exemples pour renforcer ces concepts :
- 8/12: Le PGCD est 4, donc 8 ÷ 4 = 2 et 12 ÷ 4 = 3, ce qui donne 2/3.
- 15/25: Le PGCD est 5, alors 15 ÷ 5 = 3 et 25 ÷ 5 = 5, chaque fraction devient 3/5.
Exercice 1 : Simplifiez les fractions
Passons à des exercices pratiques. Voici le premier exercice à compléter :
Complétez les pointillés :
5/3 = …/27 = …/90 = …/9
Correction :
Pour ce premier exercice, les réponses sont les suivantes :
5/3 = 45/27, en multipliant par 9.
5/3 = 90/54, en multipliant par 18.
5/3 = 15/9, en multipliant par 3.
Exercice 2 : Trouver des équivalents de fractions
Voici un autre exercice qui consiste à déterminer différentes équivalences de fractions :
5/2 = …/12
1/3 = …/12
7/6 = …/12
2/7 = 18/…
9/2 = 18/…
6 = 18/…
Correction :
- Pour 5/2, le résultat est 30/12 (on multiplie par 6).
- Pour 1/3, le résultat est 4/12 (on multiplie par 4).
- Pour 7/6, le résultat est 14/12 (on multiplie par 2).
- Pour 2/7, le résultat est 18/63 (on multiplie par 9).
- Pour 9/2, le résultat est 18/4 (on multiplie par 2).
- Pour 6, le résultat est 18/3 (en multipliant par 3).
Exercice 3 : Simplification de fractions
Nous allons maintenant passer à un autre exercice :
Complétez :
24/15 = …/5
21/14 = …/2
20/24 = …/6
81/33 = …/11
18/36 = …/2
72/24 = 6/…
Correction :
- Pour 24/15, nous avons 8/5, en divisant par 3.
- Pour 21/14, c’est 3/2, en divisant par 7.
- Pour 20/24, cela donne 5/6, en divisant par 4.
- Pour 81/33, le résultat est 27/11, en divisant par 3.
- Pour 18/36, c’est 1/2, en divisant par 18.
- Pour 72/24, on obtient 6/2, en divisant par 12.
Les applications de la simplification des fractions
La simplification de fractions a des applications pratiques dans de nombreux domaines, notamment en sciences, en économie, et dans la vie quotidienne. Par exemple, dans les recettes de cuisine, il est fréquent de devoir ajuster les quantités d’ingrédients en fonction du nombre de portions à préparer. Utiliser des fractions simplifiées permet de rendre les quantités plus faciles à comprendre et à manipuler. De plus, cela améliore l’exactitude des calculs, réduisant les risques d’erreurs.
En science, par exemple, lorsque l’on travaille avec des proportions dans des expériences, connaître comment simplifier des fractions peut aider à interpréter les résultats plus facilement. Un chimiste qui doit mélanger des solutions se doit de bien comprendre la simplification pour déterminer les concentrations correctes.
Exercice 4 : Évaluation des fractions
Complétez :
4/3 = …/9 = …/8 = …/21 = …/40 = …/16
Correction :
- 4/3 = 12/9, en multipliant par 3.
- 4/3 = 8/6, en multipliant par 2.
- 4/3 = 28/21, en multipliant par 7.
- 4/3 = 40/30, en multipliant par 10.
- 4/3 = 16/12, en multipliant par 4.
Comprendre les fractions irréductibles
Une fraction irréductible est une fraction pour laquelle le numérateur et le dénominateur n’ont pas d’autres diviseurs communs à part 1. Par exemple, la fraction 3/4 est irréductible, alors que 8/12 ne l’est pas, car elle peut être simplifiée à 2/3.
Il est essentiel d’identifier rapidement si une fraction est irréductible, car cela facilite les calculs ultérieurs et évite des erreurs dans des contextes plus complexes.
Exercice 5 : Identifier les irréductibles
Voici un autre exercice :
Classez les fractions suivantes en fractions irréductibles et non irréductibles :
15/10; 13/9; 4/16; 11/8; 15/17; 21/7; 12/48; 17/51
Correction :
Les fractions irréductibles sont : 13/9, 11/8, 15/17.
Les non irréductibles sont : 15/10 (simplifie à 3/2), 4/16 (simplifie à 1/4), 21/7 (simplifie à 3), 12/48 (simplifie à 1/4), 17/51 (simplifie à 1/3).
Exercice 6 : La division des fractions
Enfin, examinons un exercice sur la division : simplifiez les fractions suivantes.
6/10; 9/15; 4/8; 12/16; 18/24
Correction :
- 6/10 = 3/5, en divisant par 2.
- 9/15 = 3/5, en divisant par 3.
- 4/8 = 1/2, en divisant par 4.
- 12/16 = 3/4, en divisant par 4.
- 18/24 = 3/4, en divisant par 6.
Liste de techniques pour simplifier
Pour simplifier efficacement, voici quelques techniques utiles :
- Identifier le PGCD rapidement à l’aide de la méthode de décomposition.
- Utiliser les tableaux de facteurs pour visualiser les multiples.
- Pratiquer régulièrement avec des exercices adaptés à votre niveau.
- Vérifier par la répétition des divisions que la fraction est effectivement simplifiée.
| Fraction originale | Fraction simplifiée |
|---|---|
| 4/8 | 1/2 |
| 9/12 | 3/4 |
| 15/25 | 3/5 |
| 20/30 | 2/3 |
| 28/35 | 4/5 |
Comment reconnaître une fraction irréductible ?
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseurs communs autres que 1.
Quel est le PGCD ?
Le PGCD, ou plus grand commun diviseur, est le plus grand nombre qui divise deux ou plusieurs nombres entiers sans laisser de reste.
Pourquoi est-il important de simplifier les fractions ?
Simplifier les fractions rend les calculs plus faciles et réduit le risque d’erreurs.
Comment faire pour simplifier une fraction ?
Pour simplifier, divisez le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Peut-on simplifier une fraction même si elle est en décimale ?
Oui, il est possible de convertir une décimale en fraction, puis de simplifier cette fraction.
